انطبعت بطباع الخط المقسوم بنصفين وبقسمين مختلفين ، وذلك أن ضرب وتر : ا ج ، في وتر : ج د ، مع مربع وتر : ب ج ، مساو لمربع وتر : ا ب ، لأن مربع : ب د ، مساو لمربعي : ب ج ، ج د ، مع ضعف ضرب : د ج ، في : ج ح ، فإنا إذا زدنا : ح ط ، في استقامة : د ج ، مساويا : لج ح ، كان ضرب : ط د ، في : د ج ، مع مربع : ح ج ، مساويا لمربع : ح د ، فإذا رفعنا مربع : ح ج ، صار ضرب : ط د ، في : د ج ، مساويا لمربع : ج د ، مع ضعف ضرب : ج د ، في : ج ح ، لكن : ط د ، ا ج : متساويان فمربع : ا ب ، إذن مساو لمربع : ب ج ، وضرب ا ج : أعني : ط د ، في : ج د ، وذلك ما أردناه أن يتضح . وفي قوة هذا الشكل أن قوس : ا د ، إذا قسمت بنصفين على : ب ، وزيد فيها زيادة : د ج ، كان ضرب وتر : ا ج ، في وتر : ج د ، مع مربع وتر : ب د ، مساويا لمربع : ب ج ، وذلك أنا إذا فصّلنا قوس : ا ط ، مساوية لقوس : د ج ، ووصّلنا الأوتار كان خط : ج ا ط ، منحنيا في قوس : ج ب ط ، و : ب ، منتصفها يكون ضرب : ج ا ، في : ا ط ، مع مربع : ا ب ، مساويا لمربع ب ج ، لكن : ا ط ، مساو : لج د ، و : ا ب ، مساو : لب د ، فضرب : ا ج ، في : ج د ، مع مربع : ب د ، إذن مساو لمربع ب ج ، فإذا أنزلنا عمود : ب ه ، على : ا ج ، قسم : ج ا ط ، المنحني بنصفين ، فكان : ج ه ، مساويا لمجموع : ا ه ، ا ط ، أعني : ج د ، وإن كان تنصيفه إياه على صورة أخرى ، وأكثر أشكال المقالة الثانية من كتاب أوقليدس تطّرد على أوتار القوس المقسومة بمثل أقسامها . ثم ليكن قوس : ا ب ، ثلث دائرة : ا ب ج ، و : ا ه ج قطرها ، فتكون قوس : ب ج ، سدسها ونخرج من : د ، منتصف وتر : ا ب ، عمودا عليه ، فيمرّ على مركز : ه ، وينصف قوس : ا ج ب على : ز ، فينزل منه عمود : ز ح ، على خط : ا ج ب ، المنحني فلينصفه على : ح ، ولتشابه مثلثي : ا د ه ، ز ح ه ، وتساوي : ه ا ، ه ز يكون : ز ح ، مساويا : لدا . وقد تبيّن في المقالة الرابعة من كتاب الأصول مساواة : ب ج ، ج ه ، فخط : ا ج ب ، المنحني إذن هو مجموع قطر : ا ج ، إلى نصفه و : ا ح ، نصف هذا المجموع ، و : ج ح ، فضل ما بينه وبين القطر وضرب : ا ح ، في : ج ح ، مساو لمربع : ز ح ، أعني : ا د ، وضعف : ا د ، هو : ا ب ، وهو المطلوب ، لكن نسبة